A5 – Extracción de bolas sin devolución
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
De una bolsa con dos bolas blancas, dos negras y dos amarillas se extraen dos bolas sin devolución. Calcule la probabilidad de que las dos sean blancas.
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
Al no devolver la primera bola, la composición de la bolsa cambia antes de la segunda extracción.
🔵 Conceptos matemáticos
- Extracciones sin reemplazamiento.
- Probabilidad condicionada.
- Regla del producto.
- Intersección de sucesos.
🟢 Estrategia de resolución
Multiplicamos la probabilidad de obtener una bola blanca primero por la probabilidad condicionada de obtener otra blanca después.
🟣 Resolución paso a paso
Sucesos
Definimos:
- \(B_1\): «la primera bola es blanca».
- \(B_2\): «la segunda bola es blanca».
Al principio hay \(2\) bolas blancas entre \(6\):
\[
P(B_1)=\frac26=\frac13.
\]
Si la primera ha sido blanca, queda \(1\) bola blanca entre \(5\) bolas:
\[
P(B_2\mid B_1)=\frac15.
\]
Aplicamos la regla del producto:
\[
\begin{aligned}
P(B_1\cap B_2)
&=P(B_1)\,P(B_2\mid B_1)\\
&=\frac13\cdot\frac15
=\frac1{15}.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{P(\text{dos blancas})=\frac1{15}\approx0{,}0667.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Sin devolución, la segunda probabilidad depende del resultado de la primera extracción.
- La probabilidad de dos sucesos consecutivos se obtiene con la regla del producto.
- También puede comprobarse el resultado mediante combinaciones: \(\binom22/\binom62=1/15\).