D37 – Deriva \(y=\ln\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\)

Derivación paso a paso

Utilizamos propiedades de los logaritmos para simplificar:

\[
y=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)
\]
\[
y=\dfrac{1}{2}\left[\ln(1-x^2)-\ln(1+x^2)\right]
\]

Derivamos cada logaritmo mediante la regla de la cadena:

\[
y'=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{-2x}{1-x^2}-\dfrac{2x}{1+x^2}\right)
\]

Reducimos a común denominador:

\[
y'=-\dfrac{x}{1-x^2}-\dfrac{x}{1+x^2}
\]
\[
y'=-\dfrac{2x}{(1-x^2)(1+x^2)}
\]

Resultado final:

\[
\boxed{y'=-\dfrac{2x}{(1-x^2)(1+x^2)}}
\]