E9 – Socios que practican natación
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En un club deportivo, el \(55\%\) de los socios son hombres y el \(45\%\) son mujeres. Entre los socios, practica natación el \(60\%\) de los hombres y el \(40\%\) de las mujeres.
- Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique natación. (1,25 puntos)
- Sabiendo que una persona practica natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? (0,75 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La población se divide en hombres y mujeres, que forman una partición. El primer apartado se resuelve con probabilidad total y el segundo invierte la condición mediante Bayes.
🔵 Conceptos matemáticos
- Teorema de la probabilidad total.
- Probabilidad condicionada.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Definiremos los sucesos, construiremos las ramas hombre/mujer y sumaremos las probabilidades de llegar a natación. Después dividiremos la rama «mujer y natación» entre la probabilidad total de natación.
🟣 Resolución paso a paso
1. Definición de sucesos
Definimos:
- \(H\): «el socio es hombre».
- \(M\): «el socio es mujer».
- \(N\): «el socio practica natación».
Los datos son:
\[
P(H)=0{,}55,\qquad P(M)=0{,}45,
\]
\[
P(N\mid H)=0{,}60,\qquad P(N\mid M)=0{,}40.
\]
a) Probabilidad de practicar natación
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
\begin{aligned}
P(N)
&=P(H)P(N\mid H)+P(M)P(N\mid M)\\
&=0{,}55\cdot0{,}60+0{,}45\cdot0{,}40\\
&=0{,}33+0{,}18\\
&=\boxed{0{,}51}.
\end{aligned}
\]
Por tanto, el \(51\%\) de los socios practica natación.
b) Probabilidad de ser mujer sabiendo que practica natación
Aplicamos el teorema de Bayes:
\[
\begin{aligned}
P(M\mid N)
&=\frac{P(M\cap N)}{P(N)}\\
&=\frac{P(M)P(N\mid M)}{P(N)}\\
&=\frac{0{,}45\cdot0{,}40}{0{,}51}\\
&=\frac{0{,}18}{0{,}51}
=\boxed{\frac6{17}\approx0{,}3529}.
\end{aligned}
\]
La probabilidad pedida es aproximadamente del \(35{,}29\%\).
Qué debes aprender de este problema
- Las probabilidades de las ramas completas se obtienen multiplicando.
- La probabilidad total suma todas las formas posibles de llegar al mismo suceso.
- Bayes permite invertir una probabilidad condicionada.