E1 – Discusión de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el sistema:
\[
\begin{cases}
\lambda x+y-z=1,\\
-x+y+2z=0,\\
2y+\lambda z=1.
\end{cases}
\]
- Discuta el sistema según los valores del parámetro \(\lambda\). (1,2 puntos)
- Resuélvalo para \(\lambda=1\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El parámetro \(\lambda\) aparece en la matriz de coeficientes.
Los valores que anulan su determinante son los únicos que requieren un estudio separado mediante rangos o reducción del sistema.
En el apartado b) el sistema resultará compatible indeterminado, por lo que la solución se expresará con un parámetro libre.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Discusión de sistemas con parámetro.
- Soluciones paramétricas.
Si \(\det A\neq0\), el sistema es compatible determinado.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(\det A\) y estudiamos por separado \(\lambda=1\) y \(\lambda=2\).
Para los demás valores no es necesario calcular rangos: el determinante no nulo garantiza solución única.
Finalmente reducimos el sistema para \(\lambda=1\) y elegimos \(z=t\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[A=\begin{pmatrix}\lambda&1&-1\\-1&1&2\\0&2&\lambda\end{pmatrix}.\]
Su determinante vale:
\[\det A=\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2).\]
Por tanto, si \(\lambda\neq1,2\), se cumple \(\det A\neq0\) y el sistema es compatible determinado.
Para \(\lambda=1\), la matriz ampliada se reduce a:
\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&1\\0&2&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right).\]
Así, \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3\): el sistema es compatible indeterminado.
Para \(\lambda=2\), al reducir aparece una ecuación incompatible:
\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&-2&0\\0&2&2&1\\0&0&0&-\frac12\end{array}\right).\]
Luego \(\operatorname{rg}(A)=2<\operatorname{rg}(A^*)=3\), y el sistema es incompatible.
En resumen:
\[\boxed{\begin{array}{ll}\lambda\neq1,2:&\text{SCD},\\\lambda=1:&\text{SCI},\\\lambda=2:&\text{SI}.\end{array}}\]
b) Resolución para \(\lambda=1\)
Las ecuaciones independientes pueden escribirse como:
\[2y+z=1,\qquad x=y+2z.\]
Tomamos \(z=t\). Entonces:
\[y=\frac{1-t}{2},\qquad x=\frac{1-t}{2}+2t=\frac{1+3t}{2}.\]
Respuesta: \[\boxed{(x,y,z)=\left(\frac{1+3t}{2},\frac{1-t}{2},t\right),\quad t\in\mathbb R.}\]
Qué debes aprender de este problema
- El determinante localiza los valores singulares del parámetro.
- En cada valor singular hay que comparar los rangos.
- Una fila incompatible en la matriz ampliada identifica un sistema sin solución.
- En un SCI se eligen variables libres para parametrizar todas las soluciones.