E10 – Duración de partidas de ajedrez
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
El tiempo que dura una partida de torneo entre maestros de ajedrez sigue aproximadamente una distribución normal de media \(160\) minutos y desviación típica \(30\) minutos. Calcule:
- La probabilidad de que una partida acabe en menos de dos horas. (1 punto)
- El porcentaje de partidas que duran más de tres horas y 50 minutos. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Sea \(X\) la duración, en minutos. Entonces \(X\sim N(160,30)\).
Antes de tipificar hay que convertir las horas a minutos:
\[2\text{ h}=120\text{ min},\qquad 3\text{ h }50\text{ min}=230\text{ min}.\]
La segunda pregunta corresponde a una cola derecha.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Simetría de la normal estándar.
- Probabilidades de cola.
Tipificamos con \(Z=(X-\mu)/\sigma\).
🟢 Estrategia de resolución
Convertimos todos los tiempos a minutos y calculamos los valores de \(z\).
Para el valor negativo usamos la simetría \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
Para la cola derecha restamos a \(1\) la probabilidad acumulada de la tabla.
🟣 Resolución paso a paso
Sea:
\[X\sim N(160,30),\qquad Z=\frac{X-160}{30}.\]
a) Menos de dos horas
Dos horas son \(120\) minutos. Tipificamos:
\[z=\frac{120-160}{30}=-1{,}33.\]
Usando la simetría y la tabla:
\[P(X<120)=P(Z<-1{,}33)=1-\Phi(1{,}33)=1-0{,}9082=0{,}0918.\]
Por tanto:
\[\boxed{P(X<120)=0{,}0918\approx9{,}18\,\%}.\]
b) Más de tres horas y 50 minutos
Tres horas y 50 minutos son \(230\) minutos. Tipificamos:
\[z=\frac{230-160}{30}=2{,}33.\]
La probabilidad de la cola derecha es:
\[P(X>230)=P(Z>2{,}33)=1-\Phi(2{,}33)=1-0{,}9901=0{,}0099.\]
Respuesta: \[\boxed{0{,}99\,\%\text{ de las partidas duran más de 3 h 50 min}.}\]
Qué debes aprender de este problema
- Las unidades deben unificarse antes de tipificar.
- La tabla proporciona probabilidades acumuladas a la izquierda.
- Los valores negativos se consultan mediante simetría.
- Una probabilidad decimal debe multiplicarse por \(100\) para expresarla como porcentaje.