E1 – Discusión de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Dado el sistema:
\[
\begin{cases}
3x+2y-z=1,\\
x-y+2z=3,\\
mx+5y-4z=-1.
\end{cases}
\]
- Estudiar el sistema en función del parámetro \(m\in\mathbb R\). (1,2 puntos)
- Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El parámetro \(m\) sólo aparece en la tercera ecuación.
La discusión comienza calculando el determinante de la matriz de coeficientes. Los valores que lo anulen deberán estudiarse comparando rangos.
El apartado b) pide resolver únicamente el caso en que haya infinitas soluciones.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante de una matriz.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Discusión de sistemas con parámetro.
- Sistemas compatibles indeterminados.
Si \(\det A\neq0\), el sistema tiene solución única. Si \(\det A=0\), hay que comparar \(\operatorname{rg}(A)\) y \(\operatorname{rg}(A^*)\).
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(\det A\) para localizar el valor singular de \(m\).
Para ese valor reducimos la matriz ampliada y comprobamos si los rangos coinciden.
Cuando el sistema sea compatible indeterminado, elegiremos \(z=t\) como parámetro libre.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[
A=\begin{pmatrix}
3&2&-1\\
1&-1&2\\
m&5&-4
\end{pmatrix}.
\]
Su determinante vale:
\[
\det A=3(m-5).
\]
Si \(m\neq5\), entonces \(\det A\neq0\), por lo que el sistema es compatible determinado. De hecho, su solución es:
\[
(x,y,z)=\left(0,\frac53,\frac73\right).
\]
Para \(m=5\), reducimos la matriz ampliada:
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
3&2&-1&1\\
1&-1&2&3\\
5&5&-4&-1
\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&2&3\\
0&5&-7&-8\\
0&0&0&0
\end{array}\right).
\]
Por tanto:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3,
\]
y el sistema es compatible indeterminado.
En resumen:
\[
\boxed{\begin{array}{ll}
m\neq5:&\text{SCD},\\
m=5:&\text{SCI}.
\end{array}}
\]
b) Resolución para \(m=5\)
Tomamos \(z=t\). De la segunda fila reducida:
\[
5y-7z=-8\quad\Rightarrow\quad y=\frac{7t-8}{5}.
\]
De \(x-y+2z=3\), obtenemos:
\[
x=3+y-2z=\frac{7-3t}{5}.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{(x,y,z)=\left(\frac{7-3t}{5},\frac{7t-8}{5},t\right),\quad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El determinante permite localizar los valores que requieren una discusión especial.
- Un determinante no nulo garantiza solución única.
- En el caso singular hay que comparar los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada.
- Las infinitas soluciones se expresan mediante una variable libre.