E2 – Producto e inversa de matrices
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las matrices:
\[
A=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&a\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\-1&a\end{pmatrix},\qquad a\in\mathbb R.
\]
- Calcular \(AB\). (0,5 puntos)
- Estudiar para qué valores de \(a\) la matriz \(AB\) tiene inversa, calculándola cuando \(a=1\). (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La matriz \(A\) tiene dimensión \(2\times3\) y \(B\) tiene dimensión \(3\times2\). Por tanto, el producto \(AB\) existe y será una matriz cuadrada de orden 2.
Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante es distinto de cero.
Primero calcularemos el producto en función de \(a\) y después estudiaremos su determinante.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Producto de matrices rectangulares.
- Determinante de una matriz de orden 2.
- Condición de invertibilidad.
- Cálculo de la matriz inversa.
Para \(M=\begin{pmatrix}p&q\r&s\end{pmatrix}\), se cumple \(M^{-1}=\frac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s&-q\-r&p\end{pmatrix}\) si \(ps-qr\neq0\).
🟢 Estrategia de resolución
Multiplicamos cada fila de \(A\) por cada columna de \(B\).
Factorizamos el determinante de \(AB\) o resolvemos la ecuación de segundo grado que se obtiene al igualarlo a cero.
Para \(a=1\), sustituimos y aplicamos la fórmula de la inversa de una matriz de orden 2.
🟣 Resolución paso a paso
a) Producto \(AB\)
Multiplicando filas por columnas:
\[
AB=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\-1&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1+2a\\1-a&a^2\end{pmatrix}.
\]
b) Existencia y cálculo de la inversa
Calculamos el determinante:
\[
\det(AB)=(-1)a^2-(1+2a)(1-a)=a^2-a-1.
\]
La matriz no tiene inversa cuando:
\[
a^2-a-1=0\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{AB\text{ es invertible si }a\neq\frac{1+\sqrt5}{2}\text{ y }a\neq\frac{1-\sqrt5}{2}.}
\]
Para \(a=1\):
\[
AB=\begin{pmatrix}-1&3\\0&1\end{pmatrix},\qquad \det(AB)=-1.
\]
Aplicando la fórmula de la inversa:
Respuesta:
\[
\boxed{(AB)^{-1}=\begin{pmatrix}-1&3\\0&1\end{pmatrix}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de multiplicar matrices hay que comprobar que sus dimensiones son compatibles.
- El producto de matrices no es conmutativo.
- Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante no se anula.
- Los valores de un parámetro pueden impedir la existencia de la inversa.