E10 – Agudeza visual y distribución normal
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
La agudeza visual de una población sigue una normal de media \(2\) cpg y desviación típica \(1\) cpg. Se consideran problemas graves los valores inferiores a \(1{,}1\) cpg.
- ¿Qué porcentaje tiene problemas visuales graves? (1 punto)
- ¿Qué porcentaje tiene una agudeza entre \(2\) y \(2{,}9\) cpg? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Sea \(X\sim N(2,1)\). La tipificación es especialmente sencilla: \(Z=(X-2)/1=X-2\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Tipificación.
- Distribución normal estándar.
- Lectura de la tabla de la normal.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Problemas graves
\[
P(X<1{,}1)=P(Z<-0{,}9)=1-\Phi(0{,}9).
\]
Según la tabla, \(\Phi(0{,}9)=0{,}8159\). Por tanto,
\[
P(X<1{,}1)=1-0{,}8159=\boxed{0{,}1841},
\]
es decir, un \(\boxed{18{,}41\%}\).
b) Entre 2 y 2,9
\[ \[ es decir, un \(\boxed{31{,}59\%}\).
P(2
=0{,}8159-0{,}5=\boxed{0{,}3159},
\]
Qué debes aprender de este problema
- Tipificar expresa los límites en unidades de desviación típica.
- La simetría de la normal permite calcular probabilidades negativas.
- Para un intervalo se resta la función de distribución en sus extremos.