E10 – Coeficiente intelectual de la población adulta
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se sabe que el coeficiente intelectual de la población adulta española sigue una distribución normal de media \(100\) y desviación típica \(20\).
- ¿Qué porcentaje de españoles adultos se espera que tenga un coeficiente intelectual entre \(95\) y \(105\)? (1 punto)
- Si se considera que una persona es superdotada cuando su coeficiente intelectual es mayor que \(160\), calcular el porcentaje de españoles adultos que son superdotados. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El primer intervalo es simétrico respecto de la media, lo que simplifica el cálculo. En el segundo apartado se pide una cola derecha de la distribución normal.
🔵 Conceptos matemáticos
- Tipificación de una variable normal.
- Simetría de la distribución normal.
- Probabilidad de cola derecha.
🟢 Estrategia de resolución
Transformaremos los valores \(95\), \(105\) y \(160\) en puntuaciones \(z\), consultaremos la tabla y expresaremos las probabilidades finales como porcentajes.
🟣 Resolución paso a paso
Sea:
\[
X\sim N(100,20).
\]
a) Coeficiente entre \(95\) y \(105\)
Tipificamos:
\[
z_1=\frac{95-100}{20}=-0{,}25,
\qquad
z_2=\frac{105-100}{20}=0{,}25.
\]
Por tanto:
\[
\begin{aligned}
P(95\leq X\leq105)
&=P(-0{,}25\leq Z\leq0{,}25)\\
&=\Phi(0{,}25)-\Phi(-0{,}25).
\end{aligned}
\]
De la tabla:
\[
\Phi(0{,}25)=0{,}5987.
\]
Por simetría:
\[
\Phi(-0{,}25)=1-\Phi(0{,}25)=0{,}4013.
\]
Luego:
\[
P(95\leq X\leq105)
=0{,}5987-0{,}4013
=\boxed{0{,}1974}.
\]
El porcentaje esperado es \(\boxed{19{,}74\%}\).
b) Coeficiente mayor que \(160\)
Tipificamos \(160\):
\[
z=\frac{160-100}{20}=3.
\]
Se pide una cola derecha:
\[
\begin{aligned}
P(X>160)
&=P(Z>3)\\
&=1-\Phi(3)\\
&=1-0{,}9987\\
&=\boxed{0{,}0013}.
\end{aligned}
\]
El porcentaje es \(\boxed{0{,}13\%}\).
Qué debes aprender de este problema
- La puntuación típica mide cuántas desviaciones estándar separan un valor de la media.
- En intervalos simétricos puede aprovecharse la simetría de la normal.
- Las probabilidades a la derecha se calculan restando a \(1\) la probabilidad acumulada.