E10 – Probabilidad total y Bayes en el mantenimiento de barcos
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es \(0{,}6\), \(0{,}3\) y \(0{,}1\), respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento es:
- \(0{,}25\) para barcos de tonelaje bajo.
- \(0{,}4\) para barcos de tonelaje medio.
- \(0{,}6\) para barcos de tonelaje alto.
- Calcule la probabilidad de que un barco que llega al puerto necesite mantenimiento. (1 punto)
- Sabiendo que un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Los tonelajes bajo, medio y alto forman una partición de todos los barcos que llegan.
Las probabilidades de mantenimiento dependen del tonelaje y son probabilidades condicionadas.
El apartado a) usa probabilidad total y el apartado b) el teorema de Bayes.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Sistema completo de sucesos.
- Probabilidad condicionada.
- Teorema de la probabilidad total.
- Teorema de Bayes.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos los sucesos según el tonelaje y el suceso \(M\): «necesita mantenimiento».
Sumamos las tres ramas que terminan en mantenimiento.
Después calculamos la probabilidad posterior de tonelaje medio dado \(M\).
🟣 Resolución paso a paso
Definimos:
- \(B\): tonelaje bajo.
- \(T\): tonelaje medio.
- \(A\): tonelaje alto.
- \(M\): necesita mantenimiento.
Los datos son:
\[
P(B)=0{,}6,
\quad P(T)=0{,}3,
\quad P(A)=0{,}1,
\]
\[
P(M\mid B)=0{,}25,
\quad P(M\mid T)=0{,}4,
\quad P(M\mid A)=0{,}6.
\]
a) Probabilidad de necesitar mantenimiento
Aplicamos el teorema de la probabilidad total:
\[
P(M)=P(B)P(M\mid B)+P(T)P(M\mid T)+P(A)P(M\mid A).
\]
\[
P(M)=0{,}6\cdot0{,}25
+0{,}3\cdot0{,}4
+0{,}1\cdot0{,}6.
\]
\[
P(M)=0{,}15+0{,}12+0{,}06=\boxed{0{,}33}.
\]
b) Tonelaje medio sabiendo que necesitó mantenimiento
Aplicamos el teorema de Bayes:
\[
P(T\mid M)=\frac{P(T)P(M\mid T)}{P(M)}.
\]
\[
P(T\mid M)=\frac{0{,}3\cdot0{,}4}{0{,}33}
=\frac{0{,}12}{0{,}33}
=\frac{4}{11}.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{P(T\mid M)=\frac{4}{11}\approx0{,}3636.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La probabilidad total suma todas las formas de llegar al mismo suceso.
- Las probabilidades de mantenimiento están condicionadas por el tonelaje.
- Bayes permite calcular el tonelaje después de observar el mantenimiento.
- La probabilidad posterior no coincide necesariamente con la proporción inicial.