E4 – Vector paralelo a un plano y vector perpendicular
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dados el punto \(A=(1,2,4)\) y la recta:
\[
r:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2},
\]
- Halle un punto \(B\in r\) de modo que \(\overrightarrow{AB}\) sea paralelo al plano \(\pi:x+2z=0\). (1,5 puntos)
- Halle un vector \((a,b,c)\) perpendicular a \((1,0,-1)\) y a \((2,1,0)\). (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Un punto genérico de la recta se obtiene introduciendo un parámetro.
Un vector es paralelo a un plano cuando es perpendicular al vector normal del plano.
Para obtener un vector perpendicular a otros dos podemos calcular su producto vectorial.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Ecuación paramétrica de una recta.
- Producto escalar.
- Paralelismo entre vector y plano.
- Producto vectorial.
🟢 Estrategia de resolución
Escribimos \(B\) como punto genérico de \(r\) y calculamos \(\overrightarrow{AB}\).
Imponemos que su producto escalar con \((1,0,2)\) sea cero.
En el apartado b), calculamos directamente el producto vectorial.
🟣 Resolución paso a paso
a) Punto \(B\) de la recta
Una parametrización de \(r\) es:
\[
B(t)=(1,1,1)+t(2,1,2)
=(1+2t,1+t,1+2t).
\]
El vector que une \(A=(1,2,4)\) con \(B(t)\) es:
\[
\overrightarrow{AB}=B-A
=(2t,t-1,2t-3).
\]
El normal del plano \(x+2z=0\) es:
\[
\vec n=(1,0,2).
\]
Para que \(\overrightarrow{AB}\) sea paralelo al plano debe cumplirse:
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\vec n=0.
\]
\[
(2t,t-1,2t-3)\cdot(1,0,2)
=2t+2(2t-3)=0.
\]
\[
6t-6=0
\Rightarrow
t=1.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{B=(3,2,3).}
\]
b) Vector perpendicular a los dos vectores
Calculamos el producto vectorial:
\[
(1,0,-1)\times(2,1,0)
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&0&-1\\
2&1&0
\end{vmatrix}
=(1,-2,1).
\]
Respuesta:
\[
\boxed{(a,b,c)=(1,-2,1).}
\]
Cualquier múltiplo no nulo de este vector también es válido.
Qué debes aprender de este problema
- Un punto genérico de una recta depende de un parámetro.
- Un vector paralelo a un plano es ortogonal a su normal.
- El producto escalar convierte el paralelismo en una ecuación.
- El producto vectorial genera una dirección perpendicular a dos vectores.