E3 – Planos definidos por paralelismo
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcular el plano que pasa por \((1,0,1)\) y es paralelo a \(\vec u=(1,1,1)\) y \(\vec v=(1,2,3)\). (1,5 puntos)
- Calcular el plano paralelo a \(3x+2y+2z+1=0\) que pasa por \((1,2,3)\). (0,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vectores directores y normales.
- Ecuaciones de rectas y planos.
- Producto escalar y producto vectorial.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Plano por dos direcciones
Una normal es
\[
\vec n=\vec u\times\vec v=(1,-2,1).
\]
Usando \(P=(1,0,1)\):
\[
(x-1)-2y+(z-1)=0
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{x-2y+z-2=0}.
\]
b) Plano paralelo
Conserva la normal \((3,2,2)\), así que tiene forma \(3x+2y+2z+d=0\). Al imponer que pase por \((1,2,3)\):
\[
3+4+6+d=0\quad\Longrightarrow\quad d=-13.
\]
\[
\boxed{3x+2y+2z-13=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Dos direcciones contenidas en un plano generan su normal mediante un producto vectorial.
- Los planos paralelos comparten vector normal.
- El punto determina el término independiente.