A2 – Perpendicularidad y vector unitario
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Sean \(\vec u=(1,1,a)\) y \(\vec v=(1,-1,a)\). Calcule \(a\) para que sean perpendiculares. (0,5 puntos)
- Calcule un vector unitario perpendicular a \(\vec p=(1,2,3)\) y \(\vec q=(1,-2,-3)\). (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La perpendicularidad se expresa mediante producto escalar nulo. Un vector perpendicular a otros dos se obtiene con el producto vectorial y luego se normaliza.
🔵 Conceptos matemáticos
- Producto escalar.
- Producto vectorial.
- Módulo de un vector.
- Normalización de vectores.
🟢 Estrategia de resolución
En el primer apartado imponemos \(\vec u\cdot\vec v=0\). En el segundo calculamos \(\vec p\times\vec q\) y dividimos el resultado entre su módulo.
🟣 Resolución paso a paso
a) Valor de \(a\)
\[
\vec u\cdot\vec v
=(1,1,a)\cdot(1,-1,a)
=1-1+a^2
=a^2.
\]
Para que sean perpendiculares:
\[
a^2=0
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{a=0}.
\]
b) Vector unitario perpendicular
\[
\vec p\times\vec q
=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&2&3\\
1&-2&-3
\end{vmatrix}
=(0,6,-4)
=2(0,3,-2).
\]
Tomamos \(\vec w=(0,3,-2)\). Su módulo es:
\[
\|\vec w\|=\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}.
\]
Al normalizar:
\[
\boxed{
\vec u_0=
\frac{\vec w}{\|\vec w\|}
=
\left(0,\frac3{\sqrt{13}},-\frac2{\sqrt{13}}\right)}.
\]
Su opuesto también es una respuesta válida.
Qué debes aprender de este problema
- Producto escalar nulo equivale a perpendicularidad.
- El producto vectorial es perpendicular a los dos vectores originales.
- Un vector unitario tiene módulo uno.