E4 – Plano por una recta y distancia a un punto
Castilla y León · 2023 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea \(r\) la recta que pasa por \(A=(1,0,-1)\) y \(B=(0,1,1)\).
- Determinar el plano que contiene a \(r\) y a \(P=(0,0,1)\). (1 punto)
- Calcular la distancia de \(r\) a \(P\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vectores directores y normales.
- Ecuaciones de rectas y planos.
- Producto escalar y producto vectorial.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Plano
\[
\overrightarrow{AB}=(-1,1,2),\qquad \overrightarrow{AP}=(-1,0,2).
\]
Una normal es
\[
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}=(2,0,1).
\]
Usando el punto \(A\):
\[
2(x-1)+(z+1)=0\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{2x+z-1=0}.
\]
b) Distancia de un punto a una recta
\[
d(P,r)=\frac{\left|\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}\right|}{|\overrightarrow{AB}|}.
\]
Como \(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=(-2,0,-1)\), su módulo es \(\sqrt5\), mientras que \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt6\). Luego
\[
\boxed{d(P,r)=\frac{\sqrt5}{\sqrt6}=\frac{\sqrt{30}}6}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Dos vectores contenidos en un plano determinan su normal mediante un producto vectorial.
- La distancia punto-recta usa el área del paralelogramo.
- Conviene comprobar que los tres puntos pertenecen al plano obtenido.