E3 – Planos perpendiculares y paralelos
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Dados el plano y la recta:
\[
\pi\equiv2x+y=3,\qquad r\equiv\begin{cases}x=\lambda,\\y=1-2\lambda,\\z=1.\end{cases}
\]
- Hallar la ecuación del plano perpendicular a \(\pi\) que contenga a \(r\). (1 punto)
- ¿Existe algún plano paralelo a \(\pi\) que contenga a \(r\)? En caso afirmativo, calcularlo. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La recta pasa por \(P=(0,1,1)\) y tiene vector director \(\vec v=(1,-2,0)\).
El plano \(\pi\) tiene vector normal \(\vec n_\pi=(2,1,0)\).
Un plano que contenga a \(r\) debe pasar por \(P\) y su vector normal debe ser perpendicular a \(\vec v\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vectores directores y normales.
- Recta contenida en un plano.
- Planos paralelos.
- Planos perpendiculares.
Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales, y son paralelos si sus normales son proporcionales.
🟢 Estrategia de resolución
Para el apartado a), buscamos un vector normal perpendicular simultáneamente a \(\vec v\) y a \(\vec n_\pi\).
Para el apartado b), comprobamos si \(\vec v\) es perpendicular a \(\vec n_\pi\). Si lo es, la recta puede estar contenida en un plano paralelo a \(\pi\).
En ambos casos usamos el punto \(P=(0,1,1)\) para obtener el término independiente.
🟣 Resolución paso a paso
a) Plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\)
Los vectores relevantes son:
\[
\vec v=(1,-2,0),\qquad \vec n_\pi=(2,1,0).
\]
Un vector perpendicular a ambos es:
\[
\vec n_\alpha=\vec v\times\vec n_\pi=(0,0,5)\sim(0,0,1).
\]
El plano \(\alpha\) pasa por \(P=(0,1,1)\), por lo que:
\[
0(x-0)+0(y-1)+1(z-1)=0.
\]
Así:
\[
\boxed{\alpha\equiv z=1.}
\]
b) Plano paralelo a \(\pi\) que contiene a \(r\)
Comprobamos:
\[
\vec v\cdot\vec n_\pi=(1,-2,0)\cdot(2,1,0)=2-2=0.
\]
Por tanto, la dirección de \(r\) es paralela a \(\pi\), y sí existe un plano paralelo a \(\pi\) que contiene a \(r\).
Tendrá ecuación \(2x+y=d\). Como pasa por \(P=(0,1,1)\):
\[
d=2\cdot0+1=1.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{2x+y=1.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La ecuación paramétrica permite leer directamente un punto y un vector director.
- El producto vectorial proporciona un vector perpendicular a otros dos.
- Los planos paralelos tienen vectores normales proporcionales.
- Para que una recta esté contenida en un plano, su dirección debe ser perpendicular al normal del plano.