E4 – Rectas paralelas y plano común
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
- Encontrar el valor de \(a\in\mathbb R\) para que las rectas
\[
r\equiv\begin{cases}x+y-5z=-3,\\-2x+z=1,\end{cases}\qquad s\equiv x+1=\frac{y-3}{a}=\frac z2
\]
sean paralelas. (1 punto) - Si \(a=9\), calcular la ecuación del plano que las contiene. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La recta \(r\) está dada como intersección de dos planos. Su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores normales.
La recta \(s\) está en forma continua; introduciendo un parámetro se lee directamente su vector director.
Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Recta como intersección de planos.
- Ecuación continua de una recta.
- Paralelismo de rectas.
- Plano determinado por dos rectas paralelas.
Un plano que contiene dos rectas paralelas queda determinado por el vector director común y un vector que una un punto de cada recta.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(\vec v_r\) como producto vectorial de los normales de los planos que definen \(r\).
Parametrizamos \(s\) para obtener \(\vec v_s=(1,a,2)\) y exigimos proporcionalidad.
Para hallar el plano, elegimos un punto de cada recta y calculamos un vector normal mediante otro producto vectorial.
🟣 Resolución paso a paso
a) Valor de \(a\)
Los vectores normales de los planos que definen \(r\) son:
\[
\vec n_1=(1,1,-5),\qquad \vec n_2=(-2,0,1).
\]
Por tanto, un vector director de \(r\) es:
\[
\vec v_r=\vec n_1\times\vec n_2=(1,9,2).
\]
Parametrizando \(s\):
\[
x=-1+t,\qquad y=3+at,\qquad z=2t,
\]
de modo que \(\vec v_s=(1,a,2)\).
Para que sean paralelas, \((1,a,2)\) debe ser proporcional a \((1,9,2)\). La primera y la tercera componente fijan la razón de proporcionalidad en 1, luego:
\[
\boxed{a=9.}
\]
b) Plano que contiene ambas rectas
En \(r\) podemos tomar \(P=(0,2,1)\), y en \(s\), para \(t=0\), el punto \(Q=(-1,3,0)\).
El vector que los une es:
\[
\overrightarrow{PQ}=(-1,1,-1).
\]
Un vector normal del plano buscado es:
\[
\vec n=\vec v_r\times\overrightarrow{PQ}=(-11,-1,10)\sim(11,1,-10).
\]
Usando el punto \(P=(0,2,1)\):
\[
11(x-0)+(y-2)-10(z-1)=0.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{11x+y-10z+8=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El producto vectorial de los normales de dos planos da la dirección de su recta de intersección.
- Las ecuaciones continuas permiten identificar fácilmente el vector director.
- Dos rectas paralelas distintas determinan un único plano.
- Para construir ese plano se necesitan dos direcciones independientes contenidas en él.