E3 – Recta paralela a otra por un punto
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Calcular las ecuaciones paramétricas, continua e implícita de la recta \(s\) que pasa por el punto \(A(1,-2,2)\) y es paralela a la recta:
\[
r\equiv
\begin{cases}
2x-y+z=8,\\
x-y+2z=9.
\end{cases}
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La recta \(r\) aparece como intersección de dos planos.
Un vector director de \(r\) se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de esos planos.
La recta \(s\) debe usar ese mismo vector director y pasar por el punto \(A\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Recta definida como intersección de dos planos.
- Producto vectorial.
- Ecuaciones paramétricas y continua.
- Ecuación implícita de una recta en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos un vector director de \(r\) como producto vectorial de los normales.
Con el punto \(A\), escribimos inmediatamente las ecuaciones paramétricas y la continua.
Para la forma implícita, eliminamos el parámetro y obtenemos dos planos cuya intersección es \(s\).
🟣 Resolución paso a paso
Los vectores normales de los planos que definen \(r\) son:
\[
\vec n_1=(2,-1,1),
\qquad
\vec n_2=(1,-1,2).
\]
Un vector director de \(r\) es:
\[
\vec v=\vec n_1\times\vec n_2=(-1,-3,-1).
\]
Podemos tomar el vector opuesto, que resulta más cómodo:
\[
\vec v=(1,3,1).
\]
Ecuaciones paramétricas
Como \(s\) pasa por \(A(1,-2,2)\):
\[
\boxed{
s\equiv
\begin{cases}
x=1+t,\\
y=-2+3t,\\
z=2+t,
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb R.}
\]
Ecuación continua
\[
\boxed{
\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{1}.}
\]
Ecuación implícita
De \(y+2=3(x-1)\) obtenemos:
\[
3x-y-5=0.
\]
De \(z-2=x-1\) obtenemos:
\[
x-z+1=0.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{
s\equiv
\begin{cases}
3x-y-5=0,\\
x-z+1=0.
\end{cases}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La dirección de la intersección de dos planos es perpendicular a ambos normales.
- Los vectores opuestos definen la misma dirección.
- La ecuación continua se obtiene directamente a partir de un punto y un vector director.
- En el espacio, una recta puede escribirse implícitamente como intersección de dos planos.