E2 – Matriz con parámetro: inversa y rango
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Sea la matriz:
\[
A=
\begin{pmatrix}
a&-2&0\\
0&-2&0\\
0&1&a
\end{pmatrix}.
\]
- ¿Para qué valores de \(a\) tiene inversa la matriz \(A\)? (0,4 puntos)
- Estudiar el rango de la matriz según los valores de \(a\). (0,6 puntos)
- Hallar \(a\) para que se cumpla \(A^{-1}=\dfrac14A\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La invertibilidad de una matriz cuadrada se decide mediante su determinante.
Para estudiar el rango, distinguiremos el valor que anula el determinante.
En el último apartado necesitamos calcular la inversa para \(a\neq0\) y comparar sus entradas con las de \(\frac14A\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante e invertibilidad.
- Rango de una matriz.
- Cálculo de la matriz inversa.
- Igualdad de matrices entrada a entrada.
Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos primero \(|A|\).
Para \(a=0\), contamos las filas o columnas linealmente independientes.
Después obtenemos \(A^{-1}\) en función de \(a\) y comparamos con \(\frac14A\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Valores para los que existe la inversa
Calculamos el determinante:
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
a&-2&0\\
0&-2&0\\
0&1&a
\end{vmatrix}
=-2a^2.
\]
Por tanto:
\[
|A|\neq0\iff a\neq0.
\]
\[
\boxed{A\text{ es invertible si y sólo si }a\neq0.}
\]
b) Rango según \(a\)
Si \(a\neq0\), el determinante es distinto de cero y:
\[
\operatorname{rg}(A)=3.
\]
Si \(a=0\):
\[
A=
\begin{pmatrix}
0&-2&0\\
0&-2&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}.
\]
Todas las filas no nulas son proporcionales y sólo hay una columna no nula. Luego:
\[
\operatorname{rg}(A)=1.
\]
\[
\boxed{
\operatorname{rg}(A)=
\begin{cases}
3,&a\neq0,\\
1,&a=0.
\end{cases}}
\]
c) Condición \(A^{-1}=\frac14A\)
Para \(a\neq0\), la inversa es:
\[
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
\dfrac1a&-\dfrac1a&0\\
0&-\dfrac12&0\\
0&\dfrac1{2a}&\dfrac1a
\end{pmatrix}.
\]
Por otra parte:
\[
\frac14A=
\begin{pmatrix}
\dfrac a4&-\dfrac12&0\\
0&-\dfrac12&0\\
0&\dfrac14&\dfrac a4
\end{pmatrix}.
\]
Al comparar la entrada \((1,2)\):
\[
-\frac1a=-\frac12
\quad\Longrightarrow\quad
a=2.
\]
Para \(a=2\), también se verifican \(\frac1a=\frac a4\) y \(\frac1{2a}=\frac14\).
Respuesta:
\[
\boxed{a=2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- El determinante permite decidir simultáneamente invertibilidad y rango máximo.
- Cuando el determinante se anula, el rango debe calcularse directamente.
- Dos matrices son iguales si coinciden todas sus entradas.
- Al comparar matrices conviene empezar por una entrada que produzca una ecuación sencilla.