E5 – Asíntotas y extremos de una función racional
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada \(f(x)=\dfrac{x^2}{2-x}\):
- Encontrar su dominio y sus asíntotas. (1 punto)
- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Asíntotas
- Técnicas del bloque de Análisis.
- Justificación de los cálculos.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Dominio y asíntotas
El denominador se anula en \(x=2\), por lo que \(D_f=\mathbb R\setminus\{2\}\). Como el numerador no se anula en \(2\), \(\boxed{x=2}\) es asíntota vertical.
Dividimos:
\[
\frac{x^2}{2-x}=-x-2-\frac4{x-2}.
\]
Como el último término tiende a cero cuando \(x\to\pm\infty\), la asíntota oblicua es \(\boxed{y=-x-2}\).
b) Monotonía y extremos
\[
f'(x)=\frac{x(4-x)}{(2-x)^2}.
\]
El denominador es positivo en el dominio. El numerador es negativo si \(x<0\) o \(x>4\), y positivo si \(0
Qué debes aprender de este problema
- El dominio localiza la posible asíntota vertical.
- La división de polinomios revela la asíntota oblicua.
- El punto excluido separa los intervalos del estudio de monotonía.