E4 – Recta contenida en un plano y plano paralelo a una recta
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Hallar la recta contenida en \(\alpha\equiv x-y=0\), paralela a \(\beta\equiv2x-3y+z=4\) y que pasa por \(P=(1,1,3)\). (1 punto)
- Hallar el plano paralelo a \(r\equiv x-1=y+2=\dfrac{z-1}{2}\) que pasa por \(A=(0,3,1)\) y \(B=(-2,1,-1)\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Identificaremos puntos, vectores directores y vectores normales antes de escribir las ecuaciones.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Paralelismo y perpendicularidad.
- Vectores directores y normales.
- Distancias en el espacio.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Recta
Su director debe ser perpendicular a \(\vec n_\alpha=(1,-1,0)\) y a \(\vec n_\beta=(2,-3,1)\). Tomamos
\[
\vec v=\vec n_\alpha\times\vec n_\beta=(-1,-1,-1)\sim(1,1,1).
\]
Por tanto,
\[
\boxed{r_0:(x,y,z)=(1,1,3)+t(1,1,1)}.
\]
b) Plano
Un director de \(r\) es \(\vec v_r=(1,1,2)\), y
\[
\overrightarrow{AB}=(-2,-2,-2).
\]
La normal del plano es
\[
\vec n=\vec v_r\times\overrightarrow{AB}=(2,-2,0)\sim(1,-1,0).
\]
Usando \(A=(0,3,1)\):
\[
x-(y-3)=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x-y+3=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta contenida en un plano tiene director perpendicular a su normal.
- Una recta paralela a un plano aporta una dirección contenida en él.
- Dos direcciones independientes determinan la orientación de un plano.