E5 – Límite trigonométrico y teorema de Bolzano
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
- Calcular:
\[
\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x\sin x}.
\]
(1 punto) - Demostrar que la ecuación \(x\sin x=1\) tiene alguna solución. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el límite, la sustitución directa produce la indeterminación \(0/0\).
En el segundo apartado no se pide calcular la solución exacta, sino justificar que existe al menos una.
Buscaremos un intervalo en el que la función continua \(g(x)=x\sin x-1\) cambie de signo.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Indeterminaciones del tipo \(0/0\).
- Regla de L'Hôpital.
- Continuidad de funciones.
- Teorema de Bolzano.
Bolzano garantiza una raíz cuando una función continua toma valores de signos opuestos en los extremos de un intervalo.
🟢 Estrategia de resolución
Aplicaremos L'Hôpital de forma sucesiva hasta eliminar la indeterminación.
Para la ecuación, definiremos \(g(x)=x\sin x-1\).
Comprobaremos continuidad y cambio de signo en \([0,\pi/2]\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite mediante L'Hôpital
La sustitución directa da:
\[
\frac{\tan0-\sin0}{0\sin0}=\frac00.
\]
Aplicamos L'Hôpital una primera vez:
\[
\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x\sin x}
=
\lim_{x\to0}
\frac{\sec^2x-\cos x}{\sin x+x\cos x}.
\]
La nueva sustitución vuelve a producir \(0/0\), por lo que aplicamos L'Hôpital de nuevo:
\[
\lim_{x\to0}
\frac{2\sec^2x\tan x+\sin x}{2\cos x-x\sin x}.
\]
Ahora sustituimos \(x=0\):
\[
\frac{2\cdot1\cdot0+0}{2\cdot1-0}=\frac02=0.
\]
\[
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x\sin x}=0.}
\]
b) Existencia de una solución
Definimos:
\[
g(x)=x\sin x-1.
\]
La función \(g\) es continua en \([0,\pi/2]\), porque es suma y producto de funciones continuas.
Calculamos sus valores en los extremos:
\[
g(0)=-1<0,
\]
\[
g\left(\frac\pi2\right)
=\frac\pi2\sin\left(\frac\pi2\right)-1
=\frac\pi2-1>0.
\]
Como \(g\) es continua y cambia de signo, el teorema de Bolzano asegura que existe al menos un \(c\in(0,\pi/2)\) tal que:
\[
g(c)=0.
\]
Conclusión:
\[
\boxed{\text{La ecuación }x\sin x=1\text{ tiene al menos una solución en }(0,\pi/2).}
\]
Qué debes aprender de este problema
- L'Hôpital sólo se aplica después de comprobar que existe una indeterminación adecuada.
- Puede ser necesario aplicar la regla más de una vez.
- Bolzano demuestra existencia, pero no calcula la raíz.
- Para usar Bolzano hay que indicar continuidad, intervalo y cambio de signo.