E6 – Extremos e integral de una función racional
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función:
\[
f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}.
\]
- Calcular los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de (f). (1 punto)
- Calcular la integral indefinida:
\[
\int \frac{2x}{(x+1)^2}\,dx.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de estudiar la monotonía debemos tener en cuenta que la función no está definida en (x=-1).
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se obtienen estudiando el signo de la derivada.
Para integrar, el cambio (u=x+1) permite expresar también el numerador en función de (u).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Dominio de una función racional.
- Derivada y tabla de signos.
- Extremos relativos.
- Cambio de variable en una integral.
Un punto crítico sólo es un extremo si la derivada cambia de signo al atravesarlo.
🟢 Estrategia de resolución
Calcularemos (f'(x)), localizaremos sus ceros y separaremos también el punto (x=-1), que no pertenece al dominio.
Después construiremos la tabla de signos de (f').
En la integral haremos (u=x+1), de modo que (x=u-1).
🟣 Resolución paso a paso
a) Crecimiento, decrecimiento y extremos
El dominio es:
\[
D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}.
\]
Derivamos:
\[
f(x)=2x(x+1)^{-2},
\]
\[
f'(x)=2(x+1)^{-2}-4x(x+1)^{-3}.
\]
Sacamos denominador común:
\[
f'(x)=\frac{2(x+1)-4x}{(x+1)^3}
=\frac{2(1-x)}{(x+1)^3}.
\]
La derivada se anula en (x=1). Para estudiar su signo separamos los intervalos determinados por (x=-1) y (x=1):
- Si (x\in(-\infty,-1)), entonces (f'(x)<0): la función decrece.
- Si (x\in(-1,1)), entonces (f'(x)>0): la función crece.
- Si (x\in(1,\infty)), entonces (f'(x)<0): la función decrece.
En (x=1), la derivada cambia de positiva a negativa, por lo que existe un máximo relativo. Su valor es:
\[
f(1)=\frac{2}{(1+1)^2}=\frac12.
\]
\[
\boxed{\text{Máximo relativo en }\left(1,\frac12\right).}
\]
No hay mínimos relativos.
b) Integral indefinida
Partimos de:
\[
I=\int\frac{2x}{(x+1)^2}\,dx.
\]
Hacemos el cambio:
\[
u=x+1,\qquad x=u-1,\qquad du=dx.
\]
Entonces:
\[
I=\int\frac{2(u-1)}{u^2}\,du
=\int\left(\frac2u-\frac{2}{u^2}\right)du.
\]
Integramos término a término:
\[
I=2\ln|u|+\frac2u+C.
\]
Deshacemos el cambio:
\[
\boxed{\int\frac{2x}{(x+1)^2}\,dx
=2\ln|x+1|+\frac{2}{x+1}+C.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los puntos que no pertenecen al dominio también separan los intervalos de monotonía.
- El signo de la derivada determina dónde crece y decrece una función.
- El cambio de variable debe aplicarse tanto al numerador como al denominador.
- Al terminar una integral por sustitución, hay que volver a la variable original.