A4 – Límite trigonométrico y área entre curvas
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule
\[
\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x\sin x}.
\]
(1 punto) - Calcule el área encerrada por \(f(x)=4x\) y \(g(x)=x^3\) en \([0,2]\), probando antes que \(f\geq g\) en dicho intervalo. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El primer apartado presenta una indeterminación y requiere L’Hôpital. En el segundo hay que justificar qué función queda por encima antes de integrar su diferencia.
🔵 Conceptos matemáticos
- Indeterminación \(0/0\).
- Regla de L’Hôpital.
- Estudio de signo de una diferencia.
- Área entre dos curvas y regla de Barrow.
🟢 Estrategia de resolución
En el límite sustituimos, identificamos la indeterminación y aplicamos L’Hôpital tantas veces como sea necesario. Para el área factorizamos \(f-g\), estudiamos su signo y calculamos una primitiva de la diferencia.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite
Sustituimos \(x=0\):
\[
\frac{\cos0-1}{0\sin0}=\frac00.
\]
Obtenemos la indeterminación \(\boldsymbol{0/0}\). Aplicamos L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x\sin x}
=
\lim_{x\to0}
\frac{-\sin x}{\sin x+x\cos x}.
\]
La sustitución vuelve a producir \(0/0\), así que aplicamos L’Hôpital una segunda vez:
\[
\lim_{x\to0}
\frac{-\cos x}{\cos x+\cos x-x\sin x}
=
\frac{-1}{1+1}
=
\boxed{-\frac12}.
\]
b) Área entre las dos curvas
Estudiamos la diferencia:
\[
f(x)-g(x)=4x-x^3=x(4-x^2)=x(2-x)(2+x).
\]
Si \(x\in[0,2]\), los tres factores \(x\), \(2-x\) y \(2+x\) son no negativos. Por tanto:
\[
4x-x^3\geq0
\quad\Longrightarrow\quad
f(x)\geq g(x).
\]
El área es:
\[
A=\int_0^2(4x-x^3)\,dx.
\]
Calculamos primero una primitiva:
\[
\int(4x-x^3)\,dx=2x^2-\frac{x^4}{4}+C.
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
A=
\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^2
=8-4
=\boxed{4\ \text{u}^2}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de aplicar L’Hôpital hay que identificar la indeterminación.
- El orden de las funciones determina el signo del integrando del área.
- La integral de un área debe dar un resultado no negativo.