E6 – Determinantes de productos y sumas de matrices
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las matrices
\[
A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},
\qquad
M=\begin{pmatrix}1&1\\a&b\end{pmatrix},
\]
calcule \(a\) y \(b\) para que se verifiquen
\[
|MA|=2,
\qquad
|M+B|=3.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Las dos condiciones sobre determinantes producen un sistema de dos ecuaciones con las incógnitas \(a\) y \(b\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Producto y suma de matrices.
- Determinantes de orden dos.
- Propiedad \(|MA|=|M|\,|A|\).
- Sistemas lineales de dos ecuaciones.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos cada matriz indicada y su determinante. Igualamos a los valores exigidos y resolvemos el sistema resultante.
🟣 Resolución paso a paso
Primera condición: \(|MA|=2\)
\[
MA=
\begin{pmatrix}1&1\\a&b\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3&7\\
a+2b&2a+5b
\end{pmatrix}.
\]
\[
|MA|
=3(2a+5b)-7(a+2b)
=6a+15b-7a-14b
=-a+b.
\]
La primera condición da:
\[
-a+b=2.
\]
Segunda condición: \(|M+B|=3\)
\[
M+B=
\begin{pmatrix}1&1\\a&b\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2&1\\a+1&b+1\end{pmatrix}.
\]
\[
|M+B|
=2(b+1)-(a+1)
=-a+2b+1.
\]
La segunda condición da:
\[
-a+2b+1=3
\quad\Longrightarrow\quad
-a+2b=2.
\]
Resolvemos el sistema:
\[
\begin{cases}
-a+b=2,\\
-a+2b=2.
\end{cases}
\]
Restando la primera ecuación de la segunda:
\[
b=0.
\]
Sustituyendo en \(-a+b=2\):
\[
-a=2
\quad\Longrightarrow\quad
a=-2.
\]
\[
\boxed{a=-2,\qquad b=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cada igualdad entre determinantes se transforma en una ecuación.
- Las barras verticales indican determinante, no valor absoluto de una matriz.
- La solución final debe satisfacer simultáneamente las dos condiciones.