E6 – Continuidad de una función con parámetros
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función:
\[
f(x)=\begin{cases}\dfrac{\cos x-a}{b x^2},&x\neq0,\\1,&x=0,\end{cases}
\]
determine los valores de \(a\in\mathbb R\) y \(b\in\mathbb R\setminus\{0\}\) para que \(f\) sea continua en todo \(\mathbb R\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Para \(x\neq0\), la expresión es continua porque \(b\neq0\).
El único punto problemático es \(x=0\).
La continuidad exige que el límite en \(0\) exista y coincida con \(f(0)=1\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Continuidad en un punto.
- Límites indeterminados.
- Límite trigonométrico notable.
- Parámetros en funciones definidas a trozos.
Usaremos \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac12\).
🟢 Estrategia de resolución
Primero evitamos que el numerador tienda a una constante no nula; esto determina \(a\).
Después aplicamos el límite notable y exigimos que el resultado sea igual a \(1\).
La segunda condición determina \(b\).
🟣 Resolución paso a paso
La continuidad en \(x=0\) exige:
\[\lim_{x\to0}\frac{\cos x-a}{b x^2}=1.\]
Como el denominador tiende a \(0\), para que el límite sea finito el numerador debe tender también a \(0\):
\[1-a=0\quad\Longrightarrow\quad a=1.\]
Con \(a=1\):
\[\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{b x^2}=\frac1b\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\frac1b\left(-\frac12\right)=-\frac{1}{2b}.\]
Igualamos este límite a \(f(0)=1\):
\[-\frac{1}{2b}=1\quad\Longrightarrow\quad b=-\frac12.\]
Respuesta: \[\boxed{a=1,\qquad b=-\frac12}.\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos hay que localizar los puntos de cambio.
- Un denominador que tiende a cero obliga a controlar el numerador.
- Primero se elimina la divergencia y después se ajusta el valor del límite.
- La continuidad exige que límite y valor de la función coincidan.