E5 – Existencia y unicidad de una raíz
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función:
\[f(x)=e^x+x^3-2,\]
demuestre que \(f(x)\) se anula para algún valor de \(x\) y que ese valor es único. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La demostración tiene dos partes diferentes:
- Existencia: encontrar un intervalo en cuyos extremos la función cambie de signo.
- Unicidad: demostrar que la función es estrictamente monótona.
No es necesario calcular el valor exacto de la raíz.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Continuidad.
- Teorema de Bolzano.
- Derivada y monotonía.
- Unicidad de soluciones.
Una función estrictamente creciente puede cortar al eje de abscisas como máximo una vez.
🟢 Estrategia de resolución
Evaluamos la función en \(x=0\) y \(x=1\) para aplicar Bolzano.
Después calculamos \(f'(x)\) y comprobamos que es positiva en todo \(\mathbb R\).
🟣 Resolución paso a paso
Existencia de una raíz
La función \(f(x)=e^x+x^3-2\) es continua en \(\mathbb R\), pues es suma de funciones continuas.
En los extremos del intervalo \([0,1]\):
\[f(0)=1-2=-1<0,\qquad f(1)=e+1-2=e-1>0.\]
Como cambia de signo, el teorema de Bolzano garantiza que existe \(c\in(0,1)\) tal que \(f(c)=0\).
Unicidad de la raíz
Derivamos:
\[f'(x)=e^x+3x^2.\]
Para todo \(x\in\mathbb R\), se cumple \(e^x>0\) y \(3x^2\geq0\). Por tanto:
\[f'(x)>0\qquad\text{para todo }x\in\mathbb R.\]
La función es estrictamente creciente y no puede anularse en dos puntos distintos.
Conclusión: \[\boxed{f(x)=0\text{ tiene una única solución real, situada en }(0,1).}\]
Qué debes aprender de este problema
- Bolzano garantiza existencia, pero no unicidad.
- Para aplicar Bolzano hay que justificar continuidad y cambio de signo.
- La monotonía estricta garantiza como máximo una raíz.
- Existencia y unicidad deben argumentarse por separado.