E6 – Existencia y unicidad de una raíz
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Demuestre que la ecuación:
\[
x^3-12x=-2
\]
tiene una solución en \([-2,2]\) y pruebe además que esa solución es única. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Pasamos todos los términos a un mismo miembro para buscar los ceros de una función.
El teorema de Bolzano demostrará la existencia mediante un cambio de signo.
La derivada permitirá probar que la función es estrictamente decreciente en todo el intervalo.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Continuidad de polinomios.
- Teorema de Bolzano.
- Monotonía mediante la derivada.
- Unicidad de una raíz.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos \(f(x)=x^3-12x+2\).
Comprobamos que \(f(-2)\) y \(f(2)\) tienen signos opuestos.
Después demostramos que \(f'(x)<0\) para todo \(x\in(-2,2)\).
🟣 Resolución paso a paso
Existencia
La ecuación equivale a:
\[
x^3-12x+2=0.
\]
Definimos:
\[
f(x)=x^3-12x+2.
\]
Es un polinomio, por lo que es continuo en \([-2,2]\). Calculamos:
\[
f(-2)=-8+24+2=18>0,
\]
\[
f(2)=8-24+2=-14<0.
\]
Como cambia de signo, el teorema de Bolzano garantiza que existe al menos un \(c\in(-2,2)\) tal que \(f(c)=0\).
Unicidad
Derivamos:
\[
f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2).
\]
Para todo \(x\in(-2,2)\), se cumple \(x^2<4\). Por tanto:
\[
f'(x)=3x^2-12<0.
\]
La función es estrictamente decreciente en \([-2,2]\). Una función estrictamente decreciente no puede tomar el valor cero en dos puntos distintos.
Conclusión:
\[
\boxed{\text{La ecuación tiene una única solución en }[-2,2].}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Bolzano garantiza existencia, pero no unicidad.
- Una derivada negativa implica decrecimiento estricto.
- Una función estrictamente monótona puede cortar el eje OX como máximo una vez.
- La prueba de unicidad debe abarcar todo el intervalo pedido.