E7 – Límite exponencial e integral trigonométrica
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule:
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cos x-x}{e^x+\sin x-1}.
\]
(1 punto) - Calcule:
\[
\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,dx.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el límite, la sustitución directa produce la indeterminación \(0/0\).
La regla de L'Hôpital permite derivar numerador y denominador.
Para la integral calculamos primero una primitiva y después aplicamos la regla de Barrow.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Indeterminación \(0/0\).
- Regla de L'Hôpital.
- Primitivas trigonométricas inmediatas.
- Regla de Barrow.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos la indeterminación y aplicamos L'Hôpital una vez.
En el apartado b), integramos término a término.
Finalmente evaluamos la primitiva en \(\pi/2\) y en \(0\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Límite mediante L'Hôpital
Al sustituir \(x=0\):
\[
\frac{1-1-0}{1+0-1}=\frac{0}{0}.
\]
Derivamos numerador y denominador:
\[
\frac{d}{dx}(e^x-\cos x-x)=e^x+\sin x-1,
\]
\[
\frac{d}{dx}(e^x+\sin x-1)=e^x+\cos x.
\]
Aplicando L'Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cos x-x}{e^x+\sin x-1}
=\lim_{x\to0}\frac{e^x+\sin x-1}{e^x+\cos x}.
\]
Ahora podemos sustituir:
\[
\frac{1+0-1}{1+1}=\boxed{0}.
\]
b) Integral definida
Calculamos primero la integral indefinida:
\[
\int(\sin x+\cos x)\,dx
=\int\sin x\,dx+\int\cos x\,dx.
\]
\[
\int(\sin x+\cos x)\,dx
=-\cos x+\sin x+C.
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
\int_0^{\pi/2}(\sin x+\cos x)\,dx
=\left[-\cos x+\sin x\right]_0^{\pi/2}.
\]
\[
=\left(-\cos\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}\right)
-(-\cos0+\sin0).
\]
\[
=1-(-1)=\boxed{2}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de aplicar L'Hôpital hay que comprobar la indeterminación.
- Tras derivar puede desaparecer la indeterminación.
- La integral de una suma es la suma de las integrales.
- Barrow se aplica después de obtener una primitiva.