E6 – Parámetros de un polinomio y recta tangente
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Se considera la función:
\[
f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C.
\]
Determine \(A\), \(B\) y \(C\) sabiendo que \(f(-1)=0\), que \(f\) presenta un extremo relativo en \(x=0\) y que la recta tangente a la gráfica en \(x=-1\) es paralela a \(y+3x=0\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Cada dato proporciona una ecuación para los tres parámetros.
- \(f(-1)=0\) expresa que la gráfica pasa por \((-1,0)\).
- Un extremo en \(x=0\) exige \(f'(0)=0\).
- Rectas paralelas tienen la misma pendiente.
La recta \(y+3x=0\) tiene pendiente \(-3\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Condiciones de paso por un punto.
- Condición necesaria de extremo relativo.
- Pendiente de la recta tangente.
- Segunda derivada para confirmar el extremo.
La pendiente de la tangente en \(x_0\) es \(f'(x_0)\).
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(f'(x)\) y traducimos los tres datos a ecuaciones.
Resolvemos el sistema lineal resultante para \(A\), \(B\) y \(C\).
Comprobamos con \(f''(0)\) que el punto crítico es realmente un extremo.
🟣 Resolución paso a paso
La derivada es:
\[
f'(x)=3x^2+2Ax+B.
\]
Como hay un extremo relativo en \(x=0\):
\[
f'(0)=B=0.
\]
La recta \(y+3x=0\) tiene pendiente \(-3\), por lo que:
\[
f'(-1)=3-2A+B=-3.
\]
Con \(B=0\):
\[
3-2A=-3
\quad\Longrightarrow\quad
A=3.
\]
Finalmente, \(f(-1)=0\) da:
\[
-1+A-B+C=0.
\]
Sustituyendo \(A=3\) y \(B=0\):
\[
-1+3+C=0
\quad\Longrightarrow\quad
C=-2.
\]
Además, \(f''(x)=6x+2A\), de modo que \(f''(0)=6>0\): en \(x=0\) hay un mínimo relativo.
Respuesta: \(\boxed{A=3,\qquad B=0,\qquad C=-2}\).
Qué debes aprender de este problema
- Las condiciones geométricas de una gráfica se convierten en ecuaciones algebraicas.
- Un extremo interior obliga a que la primera derivada se anule.
- El paralelismo de tangentes se traduce en igualdad de pendientes.
- La segunda derivada confirma el tipo de extremo.