E5 – Ecuación exponencial sin soluciones reales
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
Pruebe que la ecuación:
\[
e^{-x}(x-1)=1
\]
no tiene solución para \(x\in\mathbb R\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
No se pide resolver numéricamente la ecuación, sino justificar que los dos miembros nunca pueden ser iguales.
Definimos \(g(x)=e^{-x}(x-1)\) y buscamos su valor máximo.
Si el máximo de \(g\) es menor que \(1\), la ecuación no puede tener soluciones.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Derivada de un producto.
- Monotonía.
- Máximo absoluto.
- Comparación de una función con una constante.
Estudiar el recorrido de una función puede demostrar que una ecuación no tiene raíces.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(g'(x)\), localizamos el punto crítico y comprobamos el cambio de signo.
Evaluamos \(g\) en el máximo.
Finalmente comparamos ese valor con el segundo miembro de la ecuación.
🟣 Resolución paso a paso
Sea:
\[
g(x)=e^{-x}(x-1).
\]
Derivamos:
\[
g'(x)=-e^{-x}(x-1)+e^{-x}=e^{-x}(2-x).
\]
Como \(e^{-x}>0\) para todo \(x\), se tiene:
- \(g'(x)>0\) si \(x<2\).
- \(g'(2)=0\).
- \(g'(x)<0\) si \(x>2\).
Por tanto, \(g\) alcanza su máximo absoluto en \(x=2\). Su valor es:
\[
g(2)=e^{-2}(2-1)=e^{-2}=\frac1{e^2}<1.
\]
Así, para todo \(x\in\mathbb R\):
\[
e^{-x}(x-1)\le\frac1{e^2}<1.
\]
Conclusión: \(\boxed{e^{-x}(x-1)=1\text{ no tiene soluciones reales}}\).
Qué debes aprender de este problema
- No todas las ecuaciones deben resolverse mediante transformaciones algebraicas.
- Un máximo absoluto puede descartar la intersección con una recta horizontal.
- El factor exponencial es siempre positivo y simplifica el estudio del signo.
- La conclusión debe comparar explícitamente el máximo con \(1\).