E7 – Recta paralela a un plano y plano equidistante
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada la recta
\[
r\equiv x-1=\frac{y+1}{2}=z-1
\]
y el plano
\[
\pi\equiv x-y+z=0,
\]
- Determine la posición relativa de \(r\) y \(\pi\). (0,8 puntos)
- Halle el plano paralelo a \(\pi\) situado a la misma distancia de \(r\) que de \(\pi\). (1,2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La posición relativa se decide comparando el vector director de la recta con el vector normal del plano. El plano buscado será el plano medio entre el que contiene a la recta y el plano dado.
🔵 Conceptos matemáticos
- Vector director de una recta.
- Vector normal de un plano.
- Posiciones relativas de recta y plano.
- Distancia entre planos paralelos.
🟢 Estrategia de resolución
Parametrizamos la recta, comprobamos el producto escalar y la pertenencia de un punto. Después obtenemos el plano paralelo que pasa por el punto medio de un segmento perpendicular.
🟣 Resolución paso a paso
a) Posición relativa
La recta en forma paramétrica es:
\[
r\equiv(1,-1,1)+t(1,2,1).
\]
Por tanto:
\[
P=(1,-1,1),\qquad
\vec v_r=(1,2,1),\qquad
\vec n_\pi=(1,-1,1).
\]
Calculamos el producto escalar:
\[
\vec v_r\cdot\vec n_\pi
=(1,2,1)\cdot(1,-1,1)
=1-2+1=0.
\]
La dirección de \(r\) es paralela al plano. Comprobamos si \(P\) pertenece a \(\pi\):
\[
1-(-1)+1=3\neq0.
\]
\[
\boxed{r\parallel\pi\text{ y }r\not\subset\pi.}
\]
b) Plano equidistante
La recta \(r\) está contenida en el plano paralelo a \(\pi\):
\[
\pi_r\equiv x-y+z-3=0,
\]
porque todos sus puntos cumplen \(x-y+z=3\).
El plano equidistante es el plano medio entre
\[
x-y+z=0
\qquad\text{y}\qquad
x-y+z=3.
\]
Su término independiente es el valor medio:
\[
\frac{0+3}{2}=\frac32.
\]
\[
\boxed{\pi'\equiv x-y+z-\frac32=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal.
- Hay que comprobar si la recta está contenida o es estrictamente paralela.
- El plano equidistante de dos planos paralelos es su plano medio.