E7 – Teorema de Bolzano y raíz única
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Enunciar el teorema de Bolzano. (1 punto)
- Averiguar si \(f(x)=x+\sin x-2\) se anula en algún punto de \([0,\pi/2]\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Límites laterales.
- Continuidad y derivabilidad.
- Teoremas de existencia y unicidad.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Teorema de Bolzano
Si una función \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(f(a)\,f(b)<0\), entonces existe al menos un \(c\in(a,b)\) tal que \(f(c)=0\).
b) Aplicación
La función es continua en \([0,\pi/2]\). Además,
\[
f(0)=-2<0,\qquad f\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi2-1>0.
\]
Por Bolzano, existe al menos una raíz en \((0,\pi/2)\).
Además,
\[
f'(x)=1+\cos x>0\quad\text{en }[0,\pi/2],
\]
de modo que \(f\) es estrictamente creciente. Por tanto, la raíz es \(\boxed{\text{única}}\).
Qué debes aprender de este problema
- Bolzano exige continuidad y cambio de signo en los extremos.
- El teorema garantiza existencia, pero no da el valor exacto de la raíz.
- La monotonía estricta añade la unicidad.