E8 – Área de un polinomio con cambio de signo
Castilla y León · 2022 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Estudiar el signo de \(f(x)=x^3-4x^2+3x\) en \([0,2]\). (0,5 puntos)
- Calcular el área limitada por su gráfica y el eje de abscisas en \([0,2]\). (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Antes de calcular, fijaremos dominio, signo o hipótesis necesarias y elegiremos la técnica adecuada.
Hay que resolver todos los apartados y mantener las condiciones del enunciado durante los cálculos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Puntos de corte.
- Signo y orden de las funciones.
- Integral definida como área geométrica.
🟢 Estrategia de resolución
Organizamos los datos, planteamos las ecuaciones necesarias y efectuamos los cálculos de forma ordenada.
Finalmente comprobamos que el resultado responde exactamente a lo pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Signo
\[
f(x)=x(x-1)(x-3).
\]
En \((0,1)\), \(f(x)>0\); en \((1,2)\), \(f(x)<0\). Los ceros del intervalo son \(x=0\) y \(x=1\).
b) Área por tramos
Una primitiva es
\[
F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}.
\]
Como cambia de signo en \(x=1\):
\[
A=\int_0^1 f(x)\,dx-\int_1^2 f(x)\,dx.
\]
\[
\int_0^1f=F(1)-F(0)=\frac5{12},
\qquad
\int_1^2f=F(2)-F(1)=-\frac{13}{12}.
\]
Por tanto,
\[
A=\frac5{12}+\frac{13}{12}=\boxed{\frac32}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Factorizar permite localizar ceros y estudiar el signo.
- Un área debe dividirse en los puntos donde la función cambia de signo.
- Se suman los valores absolutos de las integrales de cada tramo.