E8 – Área entre una recta y una función cúbica
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=x^3\):
- Comprobar que sólo se cortan en \(x=-1\), \(x=0\) y \(x=1\). (0,5 puntos)
- Hallar el área de la parte del plano limitada por las gráficas de dichas funciones. (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Los puntos de corte se obtienen igualando \(f(x)\) y \(g(x)\).
Las gráficas delimitan dos regiones: una entre \(-1\) y \(0\), y otra entre \(0\) y \(1\).
Para calcular un área hay que integrar siempre la función superior menos la inferior.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Análisis.
- Intersección de gráficas.
- Factorización de polinomios.
- Área entre curvas.
- Integral definida.
Si las funciones cambian de orden, la integral del área debe separarse en los puntos donde se cortan.
🟢 Estrategia de resolución
Resolvemos \(x=x^3\) para encontrar todas las intersecciones.
Comprobamos qué gráfica está por encima en cada intervalo.
Podemos aprovechar la simetría para calcular el área de una región y multiplicarla por 2.
🟣 Resolución paso a paso
a) Puntos de corte
Igualamos las dos funciones:
\[
x=x^3\quad\Longleftrightarrow\quad x^3-x=0.
\]
Factorizamos:
\[
x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)=0.
\]
Por tanto, las únicas abscisas de corte son:
\[
\boxed{x=-1,\quad x=0,\quad x=1}.
\]
Los puntos son \((-1,-1)\), \((0,0)\) y \((1,1)\).
b) Área limitada
En \((-1,0)\), se cumple \(x^3>x\). En \((0,1)\), se cumple \(x>x^3\).
El área total es:
\[
A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx.
\]
Por simetría:
\[
A=2\int_0^1(x-x^3)\,dx=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1.
\]
Respuesta:
\[
A=2\left(\frac12-\frac14\right)=\boxed{\frac12}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los puntos de corte separan los intervalos relevantes para el área.
- La factorización permite demostrar que no existen más intersecciones.
- El área se calcula integrando la diferencia positiva entre las curvas.
- La simetría puede reducir el número de integrales necesarias.