E9 – Mensajes con errores y probabilidad condicionada
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
- Un mensaje es transmitido con errores con una probabilidad de \(0{,}2\). Emitimos de forma independiente 3 mensajes. Calcular la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes hayan sido transmitidos con errores. (1 punto)
- Se consideran los sucesos \(A\) y \(B\), con \(P(A)=\frac13\), \(P(B)=\frac15\) y \(P(A\cup B)=\frac12\). Calcular \(P(A\cap B)\) y \(P(A\mid B)\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el apartado a), cada mensaje es un ensayo independiente con dos resultados: transmitido con error o sin error.
“Al menos 2” significa exactamente 2 o exactamente 3 mensajes con errores.
En el apartado b), la fórmula de la unión permite obtener primero la intersección y después calcular la probabilidad condicionada.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Distribución binomial.
- Sucesos independientes.
- Probabilidad de la unión.
- Probabilidad condicionada.
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces \(P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\).
🟢 Estrategia de resolución
Modelizamos el número de mensajes erróneos mediante una binomial \(B(3,0{,}2)\).
Sumamos \(P(X=2)\) y \(P(X=3)\).
Después usamos \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) y \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Mensajes transmitidos con errores
Sea \(X\) el número de mensajes transmitidos con errores. Entonces:
\[
X\sim B(3,0{,}2).
\]
La probabilidad pedida es:
\[
P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3).
\]
Calculamos:
\[
P(X\geq2)=\binom32(0{,}2)^2(0{,}8)+\binom33(0{,}2)^3.
\]
\[
P(X\geq2)=3\cdot0{,}04\cdot0{,}8+0{,}008=0{,}096+0{,}008=\boxed{0{,}104}.
\]
b) Intersección y probabilidad condicionada
Por la fórmula de la unión:
\[
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
\]
Por tanto:
\[
P(A\cap B)=\frac13+\frac15-\frac12=\frac{10+6-15}{30}=\boxed{\frac1{30}}.
\]
Ahora calculamos:
Respuesta:
\[
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/30}{1/5}=\boxed{\frac16}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los ensayos independientes con probabilidad constante se modelizan mediante una binomial.
- “Al menos” indica que hay que sumar varios valores posibles.
- La fórmula de la unión permite despejar la probabilidad de la intersección.
- En una probabilidad condicionada, el suceso condicionado aparece en el denominador.