B5 – Conductores que hablan inglés
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
En una empresa trabajan:
- 50 conductores menores de 45 años, 15 de los cuales hablan inglés.
- 30 conductores de entre 45 y 55 años, 6 de los cuales hablan inglés.
- 20 conductores mayores de 55 años, 3 de los cuales hablan inglés.
Sean \(A\): «menor de 45 años», \(B\): «entre 45 y 55», \(C\): «mayor de 55» e \(I\): «habla inglés».
- Calcule \(P(I\mid A)\), \(P(I\mid B)\) y \(P(I\mid C)\). (0,9 puntos)
- Elegido un conductor que habla inglés, calcule la probabilidad de que sea menor de 45 años. (1,1 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Las probabilidades del primer apartado se calculan dentro de cada grupo de edad. En el segundo se restringe la población a quienes hablan inglés.
🔵 Conceptos matemáticos
- Probabilidad condicionada.
- Partición del espacio muestral.
- Teorema de Bayes.
- Recuento de casos favorables y posibles.
🟢 Estrategia de resolución
Dividimos quienes hablan inglés entre el tamaño de cada grupo. Después calculamos \(P(A\mid I)\), bien mediante Bayes o directamente como 15 de los 24 conductores que hablan inglés.
🟣 Resolución paso a paso
a) Probabilidades condicionadas por edad
\[
P(I\mid A)=\frac{15}{50}=\boxed{0{,}30}.
\]
\[
P(I\mid B)=\frac{6}{30}=\boxed{0{,}20}.
\]
\[
P(I\mid C)=\frac{3}{20}=\boxed{0{,}15}.
\]
b) Probabilidad de ser menor de 45 sabiendo que habla inglés
El número total de conductores que hablan inglés es:
\[
15+6+3=24.
\]
De ellos, 15 tienen menos de 45 años. Por tanto:
\[
P(A\mid I)=\frac{15}{24}=\frac58.
\]
\[
\boxed{P(A\mid I)=0{,}625}.
\]
También se obtiene mediante Bayes:
\[
P(A\mid I)
=\frac{P(A)P(I\mid A)}
{P(A)P(I\mid A)+P(B)P(I\mid B)+P(C)P(I\mid C)}
\]
\[
=\frac{0{,}5\cdot0{,}3}
{0{,}5\cdot0{,}3+0{,}3\cdot0{,}2+0{,}2\cdot0{,}15}
=0{,}625.
\]
Qué debes aprender de este problema
- El denominador de una probabilidad condicionada es el grupo sobre el que se condiciona.
- Los tres grupos de edad forman una partición de los 100 conductores.
- El cálculo directo y el teorema de Bayes deben conducir al mismo resultado.