E9 – Distribución normal del peso del alumnado
Castilla y León · 2020 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
El peso del alumnado de 2.º de Bachillerato de un instituto de León sigue una distribución normal de media \(75\) kg y desviación típica \(5\) kg. Si se elige un alumno al azar, calcule la probabilidad de que:
- Tenga un peso entre \(70\) y \(80\) kg. (1 punto)
- Tenga un peso superior a \(85\) kg. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Sea \(X\) el peso, en kilogramos, de un alumno elegido al azar:
\[X\sim N(75,5).\]
Tipificamos con \(Z=(X-75)/5\) para utilizar la tabla de la normal estándar.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad.
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Simetría de la normal estándar.
- Probabilidades de cola.
🟢 Estrategia de resolución
Tipificamos los extremos \(70\), \(80\) y \(85\).
Para el intervalo simétrico usamos \(P(-1\leq Z\leq1)\).
Para la cola derecha usamos la probabilidad complementaria.
🟣 Resolución paso a paso
\[
X\sim N(75,5),
\qquad
Z=\frac{X-75}{5}.
\]
a) Peso entre \(70\) y \(80\) kg
\[
P(70\leq X\leq80)
=P\left(\frac{70-75}{5}\leq Z\leq\frac{80-75}{5}\right).
\]
\[
=P(-1\leq Z\leq1).
\]
Usando la simetría:
\[
P(-1\leq Z\leq1)
=\Phi(1)-\Phi(-1)
=2\Phi(1)-1.
\]
Como \(\Phi(1)=0{,}8413\):
\[
P(70\leq X\leq80)=2\cdot0{,}8413-1=\boxed{0{,}6826}.
\]
b) Peso superior a \(85\) kg
\[
P(X>85)
=P\left(Z>\frac{85-75}{5}\right)
=P(Z>2).
\]
De la tabla, \(\Phi(2)=0{,}9772\). Por tanto:
\[
P(X>85)=1-0{,}9772=\boxed{0{,}0228}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Tipificar transforma cualquier normal en una normal estándar.
- Los intervalos simétricos permiten aprovechar la simetría.
- Las colas derechas se calculan mediante el complementario.
- Las probabilidades finales deben estar entre cero y uno.