E1 – Discusión de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2024 · Extraordinaria · Específica
Ficha del problema
Enunciado
Dado el sistema:
\[
\begin{cases}
ax+y+z=a,\\
(a+1)x+y-az=0,\\
x+(a+1)y=0.
\end{cases}
\]
- Discutir el sistema según el valor del parámetro \(a\). (1,2 puntos)
- Resolver el sistema si \(a=0\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El parámetro \(a\) aparece tanto en la matriz de coeficientes como en el término independiente.
Primero calcularemos el determinante. Los valores que lo anulen deberán estudiarse por separado comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada.
El apartado b) corresponde precisamente a uno de los casos singulares.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistema compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible.
- Resolución de un sistema con parámetro libre.
Si \(|A|\neq0\), el sistema tiene solución única. Si \(|A|=0\), hay que comparar rangos.
🟢 Estrategia de resolución
Escribimos la matriz de coeficientes y calculamos su determinante.
Estudiaremos por separado \(a=0\) y \(a=-1\), que son los valores que anulan el determinante.
Para \(a=0\), reduciremos el sistema y expresaremos la solución con un parámetro.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes es:
\[
A=
\begin{pmatrix}
a&1&1\\
a+1&1&-a\\
1&a+1&0
\end{pmatrix}.
\]
Calculamos su determinante:
\[
|A|=a(a+1)^2.
\]
Por tanto:
\[
|A|=0\iff a=0\quad\text{o}\quad a=-1.
\]
Si \(a\neq0,-1\): se cumple \(|A|\neq0\), luego:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3.
\]
El sistema es compatible determinado.
Si \(a=0\): el sistema queda:
\[
\begin{cases}
y+z=0,\\
x+y=0,\\
x+y=0.
\end{cases}
\]
Hay dos ecuaciones independientes y no aparece ninguna contradicción:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3.
\]
El sistema es compatible indeterminado.
Si \(a=-1\): obtenemos:
\[
\begin{cases}
-x+y+z=-1,\\
y+z=0,\\
x=0.
\end{cases}
\]
De \(x=0\) y \(y+z=0\), la primera ecuación exigiría \(y+z=-1\), lo que es imposible. Por tanto:
\[
\operatorname{rg}(A)=2,
\qquad
\operatorname{rg}(A^*)=3.
\]
El sistema es incompatible.
b) Resolución para \(a=0\)
Tomamos \(z=t\), con \(t\in\mathbb R\). Entonces:
\[
y=-z=-t,
\qquad
x=-y=t.
\]
Respuesta:
\[
\boxed{(x,y,z)=(t,-t,t),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los valores que anulan el determinante son los únicos que necesitan una discusión específica.
- Un determinante no nulo garantiza solución única.
- Cuando los rangos coinciden pero son menores que el número de incógnitas, aparecen infinitas soluciones.
- Una contradicción entre ecuaciones indica que el sistema es incompatible.