Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{3x^2+2x-1}}{-\sqrt{2x^2+5x+2}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to+\infty\), obtenemos un cociente del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\). Para resolverlo, extraemos \(x^2\) de cada raíz; como \(x>0\), usamos \(\sqrt{x^2}=x\):

\[
\sqrt{3x^2+2x-1}
=x\sqrt{3+\frac2x-\frac1{x^2}},
\]

\[
-\sqrt{2x^2+5x+2}
=-x\sqrt{2+\frac5x+\frac2{x^2}}.
\]

Se simplifica el factor \(x\):

\[
-\frac{\sqrt{3+\frac2x-\frac1{x^2}}}
{\sqrt{2+\frac5x+\frac2{x^2}}}
\longrightarrow-\frac{\sqrt3}{\sqrt2}.
\]

Racionalizando el resultado:

\[
-\frac{\sqrt3}{\sqrt2}
=-\frac{\sqrt6}{2}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-\frac{\sqrt6}{2}}
\]