Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(x\to-\infty\), obtenemos \(\frac{\infty}{\infty}\). Para resolver esta indeterminación, extraemos \(x^2\) de la raíz recordando que \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\) cuando \(x<0\):

\[
\sqrt{x^2-1}
=|x|\sqrt{1-\frac1{x^2}}
=-x\sqrt{1-\frac1{x^2}}.
\]

En el numerador:

\[
x^2+1=x^2\left(1+\frac1{x^2}\right).
\]

Por tanto:

\[
\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}
=(-x)\,
\frac{1+\frac1{x^2}}{\sqrt{1-\frac1{x^2}}}.
\]

La fracción tiende a \(1\) y \(-x\to+\infty\), luego el límite es \(+\infty\).

Resultado:

\[
\boxed{+\infty}
\]