Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2-n}-n\right)\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: Al sustituir \(n\to+\infty\), obtenemos \(\infty-\infty\). Para resolver esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por el conjugado:

\[
\sqrt{n^2-n}-n
=\frac{(\sqrt{n^2-n}-n)(\sqrt{n^2-n}+n)}
{\sqrt{n^2-n}+n}.
\]

Aplicamos diferencia de cuadrados:

\[
\frac{n^2-n-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n}
=\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}.
\]

Dividimos numerador y denominador entre \(n>0\):

\[
\frac{-1}{\sqrt{1-\frac1n}+1}
\longrightarrow\frac{-1}{1+1}=-\frac12.
\]

Resultado:

\[
\boxed{-\frac12}
\]