PropiaAnálisisCálculo de límitesAvanzado
Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{5x}\right)^{2x}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Análisis
Tema
Cálculo de límites
Fuente
Propia
Dificultad
Avanzado
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Calcula el siguiente límite:
\[
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{5x}\right)^{2x}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Identificación de la indeterminación: La base tiende a \(1\) y el exponente a \(+\infty\), por lo que obtenemos \(1^\infty\). Para resolver esta indeterminación, aplicamos el límite notable:
\[
\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e.
\]
Tomamos \(u=\frac{2}{5x}\), de modo que:
\[
\left(1+\frac{2}{5x}\right)^{2x}
=\left[
\left(1+\frac{2}{5x}\right)^{\frac{5x}{2}}
\right]^{\frac45}.
\]
El corchete tiende a \(e\). Por tanto:
\[
e^{4/5}.
\]
Resultado:
\[
\boxed{e^{4/5}}
\]