Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n^2+1}{3n^2-1}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: La base tiende a \(1\) y el exponente a \(+\infty\), por lo que obtenemos \(1^\infty\). Para resolver esta indeterminación, escribimos la base en la forma \(1+u_n\):

\[
\frac{3n^2+1}{3n^2-1}
=1+\frac2{3n^2-1}.
\]

En una potencia del tipo \(1^\infty\), calculamos el límite del producto entre el incremento de la base y el exponente:

\[
\frac2{3n^2-1}\cdot\frac{n^2}{n+1}
=\frac{2n^2}{(3n^2-1)(n+1)}.
\]

Dividiendo numerador y denominador entre \(n^3\):

\[
\frac{\frac2n}
{\left(3-\frac1{n^2}\right)\left(1+\frac1n\right)}
\longrightarrow0.
\]

Por el límite notable, la potencia tiende a \(e^0=1\).

Resultado:

\[
\boxed{1}
\]