Calcula el límite: \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x-3}{2x+4}\right)^{\frac{x^2-2x}{x+1}}\)

Resolución paso a paso

Identificación de la indeterminación: La base tiende a \(1\) y el exponente a \(+\infty\), por lo que obtenemos \(1^\infty\). Para resolver esta indeterminación, escribimos la base en la forma \(1+u(x)\):

\[
\frac{2x-3}{2x+4}
=1-\frac7{2x+4}.
\]

Calculamos el producto entre el incremento de la base y el exponente:

\[
-\frac7{2x+4}\cdot\frac{x^2-2x}{x+1}
=-\frac{7(x^2-2x)}{(2x+4)(x+1)}.
\]

Numerador y denominador tienen grado \(2\), por lo que:

\[
\lim_{x\to+\infty}
-\frac{7(x^2-2x)}{(2x+4)(x+1)}
=-\frac72.
\]

Aplicando el límite notable:

\[
e^{-7/2}.
\]

Resultado:

\[
\boxed{e^{-7/2}}
\]