PropiaÁlgebraSistemas de ecuaciones no linealesDifícil
Resuelve: \(\begin{cases}\log_y(9-x)=\frac12\\\log_x(y+9)=2\end{cases}\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Nivel
1º Bachillerato
Asignatura
Matemáticas 1
Bloque
Álgebra
Tema
Sistemas de ecuaciones no lineales
Fuente
Propia
Dificultad
Difícil
Tipo
Cálculo directo
Enunciado
Resuelve:
\[
\begin{cases}\log_y(9-x)=\frac12\\\log_x(y+9)=2\end{cases}
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Por definición de logaritmo:
\[
9-x=y^{1/2}=\sqrt{y},\qquad y+9=x^2
\]
De la primera, \(y=(9-x)^2\), con \(9-x \gt 0\). Sustituimos en la segunda:
\[
(9-x)^2+9=x^2
\]
\[
81-18x+x^2+9=x^2\Longrightarrow18x=90
\]
\[
x=5,\qquad y=(9-5)^2=16
\]
Las bases \(x=5\) e \(y=16\) son positivas y distintas de \(1\), y los argumentos son positivos.
Solución:
\[
\boxed{(x,y)=(5,16)}
\]