Resuelve: \(\begin{cases}\cos(x+y)=\frac12\\\sin(x-y)=\frac12\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Buscamos todas las soluciones con \(x,y\in[0,2\pi)\). Hacemos el cambio:

\[
u=x+y,
\qquad
v=x-y.
\]

El sistema se separa en:

\[
\cos u=\frac12,
\qquad
\sin v=\frac12.
\]

Como \(0\le u<4\pi\), los valores posibles son:

\[
u\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3},
\frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3}\right\}.
\]

Como \(-2\pi

\[
v\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},
-\frac{7\pi}{6},-\frac{11\pi}{6}\right\}.
\]

Recuperamos las variables con:

\[
x=\frac{u+v}{2},
\qquad
y=\frac{u-v}{2}.
\]

Combinamos los valores y conservamos únicamente los pares para los que \(x,y\in[0,2\pi)\).

Soluciones:

\[
\boxed{
\begin{aligned}
(x,y)\in\Bigl\{&
\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12}\right),
\left(\frac{11\pi}{12},\frac{3\pi}{4}\right),
\left(\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{12}\right),\\
&\left(\frac{\pi}{4},\frac{17\pi}{12}\right),
\left(\frac{5\pi}{4},\frac{13\pi}{12}\right),
\left(\frac{19\pi}{12},\frac{3\pi}{4}\right),\\
&\left(\frac{7\pi}{12},\frac{7\pi}{4}\right),
\left(\frac{23\pi}{12},\frac{7\pi}{4}\right)
\Bigr\}.
\end{aligned}}
\]