Resuelve: \(\begin{cases}\cos x+\cos y=\sqrt2\\x+y=90^\circ\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Usamos la segunda ecuación para conocer la semisuma:

\[
\frac{x+y}{2}=45^\circ.
\]

Aplicamos la fórmula de suma de cosenos:

\[
\cos x+\cos y
=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)
\cos\left(\frac{x-y}{2}\right).
\]

Sustituimos \(x+y=90^\circ\):

\[
2\cos45^\circ\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)=\sqrt2.
\]

Como \(2\cos45^\circ=\sqrt2\):

\[
\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)=1.
\]

En los valores principales compatibles con \(x+y=90^\circ\), esto obliga a:

\[
x-y=0^\circ.
\]

Resolvemos el sistema lineal:

\[
\begin{cases}
x+y=90^\circ,\\
x-y=0^\circ.
\end{cases}
\]

Sumando ambas ecuaciones, \(2x=90^\circ\), por lo que \(x=45^\circ\) e \(y=45^\circ\).

Solución:

\[
\boxed{(x,y)=(45^\circ,45^\circ)}.
\]