Resuelve: \(\begin{cases}\cos x+\cos y=1\\\cos(x+y)=1\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Trabajamos con \(x,y\in[0,2\pi)\). La segunda ecuación exige:

\[
\cos(x+y)=1
\quad\Longrightarrow\quad
x+y=2k\pi.
\]

Como \(0\le x+y<4\pi\), las posibilidades son \(x+y=0\) y \(x+y=2\pi\). Si \(x+y=0\), entonces \(x=y=0\), pero \(\cos x+\cos y=2\); por tanto, se descarta.

Tomamos \(x+y=2\pi\) y aplicamos la fórmula de suma de cosenos:

\[
\cos x+\cos y
=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)
\cos\left(\frac{x-y}{2}\right).
\]

Así:

\[
2\cos\pi\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)=1,
\]

\[
\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)=-\frac12.
\]

En el intervalo posible para la semidiferencia:

\[
\frac{x-y}{2}=\pm\frac{2\pi}{3}
\quad\Longrightarrow\quad
x-y=\pm\frac{4\pi}{3}.
\]

Combinamos cada diferencia con \(x+y=2\pi\):

\[
\boxed{(x,y)\in
\left\{
\left(\frac{5\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right),
\left(\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)
\right\}}.
\]