Resuelve: \(\begin{cases}\sin x\cos y=\frac34\\\cos x\sin y=\frac14\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Sumamos las ecuaciones y usamos la fórmula del seno de una suma:

\[
\sin(x+y)=\frac34+\frac14=1.
\]

Restamos la segunda ecuación de la primera y usamos la fórmula del seno de una diferencia:

\[
\sin(x-y)=\frac34-\frac14=\frac12.
\]

Buscamos \(x,y\in[0,2\pi)\). Como \(0\le x+y<4\pi\):

\[
x+y=\frac{\pi}{2}
\quad\text{o}\quad
x+y=\frac{5\pi}{2}.
\]

Además, como \(-2\pi

\[
x-y\in\left\{
\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},
-\frac{7\pi}{6},-\frac{11\pi}{6}
\right\}.
\]

Combinamos cada suma y diferencia mediante:

\[
x=\frac{(x+y)+(x-y)}{2},
\qquad
y=\frac{(x+y)-(x-y)}{2},
\]

y conservamos los pares del intervalo principal.

Soluciones:

\[
\boxed{(x,y)\in
\left\{
(60^\circ,30^\circ),
(120^\circ,330^\circ),
(240^\circ,210^\circ),
(300^\circ,150^\circ)
\right\}}.
\]