Resuelve: \(\begin{cases}\sin x+\sin y=1\\\cos x-\cos y=1\end{cases}\)

Resolución paso a paso

Introducimos:

\[
A=\frac{x+y}{2},
\qquad
B=\frac{x-y}{2}.
\]

Aplicamos las fórmulas de suma de senos y diferencia de cosenos:

\[
\begin{cases}
2\sin A\cos B=1,\\
-2\sin A\sin B=1.
\end{cases}
\]

Dividimos la segunda ecuación entre la primera:

\[
-\tan B=1
\quad\Longrightarrow\quad
\tan B=-1.
\]

En el intervalo principal de la semidiferencia tomamos \(B=-\frac{\pi}{4}\). Sustituyendo en la primera ecuación:

\[
2\sin A\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1
\quad\Longrightarrow\quad
\sin A=\frac{\sqrt2}{2}.
\]

Los valores \(A=\frac{\pi}{4}\) y \(A=\frac{3\pi}{4}\) producen los pares principales válidos. Como \(x=A+B\) e \(y=A-B\):

\[
A=\frac{\pi}{4}
\Longrightarrow
(x,y)=\left(0,\frac{\pi}{2}\right),
\]

\[
A=\frac{3\pi}{4}
\Longrightarrow
(x,y)=\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).
\]

Soluciones:

\[
\boxed{(x,y)\in\left\{
\left(0,\frac{\pi}{2}\right),
\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)
\right\}}.
\]